L’objectif de ce TD est de mettre en lumière l’intérêt de l’analyse centrographique pour évaluer des tendances spatio-temporelles. Nous utilisons l’exemple de la dynamique spatiale de la répartition de la population des États-Unis depuis 1790.
Méthode : Être en mesure d’identifier et de discuter la centralité d’un phénomène spatial au cours du temps.
Sur R :
.csv.Voilà les étapes de l’analyse. Il s’agit d’une démarche classique de résolution d’une question de recherche à visé descriptive.
Le TD suit cette démarche.
Questionnement : quelle est la dynamique spatiale de la population des États-Unis depuis la fin du 18e siècle ? (le questionnement s’intéresse donc à un processus spatio-temporel)
Type de démarche : descriptive. Ici, on ne s’intéresse qu’à la description du phénomène, il n’est pas question de prouver le pourquoi : il ne s’agit pas de modélisation à visé explicative.
Méthode :
Ici, je vous donne la méthode. Il va de soit qu’en dehors du TD, vous devrez trouvez vous-même les méthodes appropriées à la résolution de votre questionnement (en lisant la littérature scientifique).
Pour répondre au questionnement et au vu de la méthode retenue, il faut trouver une donnée qui enregistre la population des États-Unis à une échelle spatiale cohérente et sur un pas de temps régulier (pour évaluer la tendance temporelle). En temps normal, vous devrez trouvez vous-même la donnée (si elle existe), ici je vous la donne directement.
Le recensement de la population des États-Unis est réalisé pour la première fois en 1790, conformément à la Constitution américaine, qui exige qu’un dénombrement de la population soit effectué tous les dix ans. Son objectif initial était politique : déterminer la représentation de chaque État au Congrès et répartir l’impôt fédéral selon la population. Très vite, le recensement est aussi devenu un outil administratif et économique, permettant de connaître la distribution de la population et l’essor des territoires. Organisé par le Census Bureau, il constitue aujourd’hui l’une des plus longues séries statistiques au monde.
La donnée est disponible sur le site du Census Bureau. Elle est mise à disposition dans un format inexploitable en l’état. Sur Kaggle, on trouve le jeu de données correctement sous un format tidy, c’est la donnée que nous utiliserons. Le jeu de données dispose de trois variables : state, year et population.
readr::read_csv("data/src/us_population_by_state.csv", show_col_types = FALSE) |>
reactable::reactable(
searchable = TRUE,
filterable = TRUE,
striped = TRUE,
highlight = TRUE,
bordered = TRUE,
defaultPageSize = 10,
theme = reactablefmtr::nytimes()
)Chargez le jeu de données avec la fonction readr::read_csv() (c.f. Section 8.1.1). Téléchargez la donnée en cliquant ici.
# Read pop data
dt <- read_csv("data/src/us_population_by_state.csv")
## Rows: 6579 Columns: 3
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr (1): state
## dbl (2): year, population
##
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.À ce stade vous disposez de presque toutes les données nécessaires : l’année, l’état et la population. Cependant, l’information spatiale n’est pas explicitement inclue dans la table (vous n’avez que le nom des états), vous ne pouvez donc pas effectuer d’analyse centrographique. Il faut donc trouver une donnée qui enregistre la géométrie des états.
Les jeux de données proposés par natural earth permettent de récupérer la géométrie des états. On peut récupérer la donnée directement sous R via le package rnaturalearth. Une fois les données récupérées, on les projette en NAD83 (le référentiel métrique des USA, équivalent de notre lambert93).
# Récupérer les états des USA (1:50m scale)
states <- ne_states(country = "United States of America", returnclass = "sf")
# Pour le détail de la projection
st_crs(states)Coordinate Reference System:
User input: WGS 84
wkt:
GEOGCRS["WGS 84",
DATUM["World Geodetic System 1984",
ELLIPSOID["WGS 84",6378137,298.257223563,
LENGTHUNIT["metre",1]]],
PRIMEM["Greenwich",0,
ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433]],
CS[ellipsoidal,2],
AXIS["latitude",north,
ORDER[1],
ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433]],
AXIS["longitude",east,
ORDER[2],
ANGLEUNIT["degree",0.0174532925199433]],
ID["EPSG",4326]]rnaturalearth.
rnaturalearth ne fonctionnerait pas, vous pouvez télécharger la donnée ici. Pour lire une donnée spatiale on utilise le package sf avec la fonction read_sf() qui s’utilise d’une façon similaire à readr::read_csv().Pour convertir un objet sf dans un autre système de projection, on utilise la fonction sf::st_transform().
states <- st_transform(states, crs = 5070)# Dans le cas où rnaturalearth ne fonctionnerait pas :
states <- read_sf("data/src/states.gpkg")
states <- st_transform(states, crs = 5070)À chaque fois que vous voyez un nouveau package vous devez l’installer et le charger.
Pensez à inscrire les fonctions library() en tête de votre script et pas en plein milieu.
Pourquoi doit-on convertir la donnée spatiale dans un référentiel métrique ?
Supprimer l’Alaska et Hawaii dans les deux jeux de données.
to_remove <- c("Hawaii", "Alaska")
dt <- filter(dt, !state %in% to_remove)
states <- filter(states, !name %in% to_remove)
# Équivalent à (moins élégant) :
dt <- filter(dt, state != "Hawaii", state != "Alaska")
states <- filter(states, name != "Hawaii", name != "Alaska")Pourquoi les supprime-t-on ?
Le code ci-dessous nécessite les packages dplyr et sf (permet de manipuler des données spatiales). Les fonctions commençant par st_ sont issues du package sf.
state_centroids <-
# Générer les centroïdes
st_centroid(states) |>
# Extraire les coordonnées
mutate(
x = st_coordinates(geometry)[,1],
y = st_coordinates(geometry)[,2]
) |>
# Convertir en data.frame standard
st_drop_geometry() |>
# Sélectionner uniquement les variables d'intérêt
select(name, x, y)Warning: st_centroid assumes attributes are constant over geometriesPourquoi calcule-t-on le centroïde des états ?
Joindre les deux jeux de données. Référez-vous à la Section 8.1.5 pour les jointures.
data_joined <- left_join(dt, state_centroids, by = c("state" = "name"))Pourquoi fait-on cela ?
On souhaite récupérer les informations spatiales
Le centre de gravité (ou barycentre ou point moyen) d’un nuage de point (Equation 2.1). Il s’agit d’une simple moyenne.
\[ (\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_i, \quad \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}y_i\right) \tag{2.1}\]
Sous R, cela revient à calculer la moyenne des :
mean(x))mean(y)).Le centre de gravité pondéré par la variable \(z\), \(\bar{x}_z\) Equation 2.2.
\[ (\bar{x}_z, \bar{y}_z) = \left(\frac{\sum_{i = 1}^{N}z_ix_i}{\sum^{N}_{i=1}z_i}, \frac{\sum_{i = 1}^{N}z_iy_i}{\sum^{N}_{i=1}z_i}\right) \tag{2.2}\]
Sous R, cela revient à calculer la moyenne pondérée des :
sum(population * x) / sum(population))sum(population * y) / sum(population))La distance standard non pondérée (Equation 2.3).
\[ \text{SD} = \sqrt{\text{var}(x) + \text{var}(y)} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2 + \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_i - \bar{y})^2} \tag{2.3}\]
Sous R, on écrira : sqrt(var(x) + var(y))
La distance standard pondérée des \(x\) et \(y\) par la variable \(z\) (Equation 2.4).
\[ \text{SD}_z = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}z[(x_i - \bar{x}_z)^2 + (y_i - \bar{y}_z)^2]}{\sum^{N}_{i=1}z_i}} \tag{2.4}\]
Sous R, on écrira : sqrt(sum(z * ((x - mean(x_pond))^2 + (y - mean(y_pond))^2)) / sum(z))
state_centroids). Le résultat doit être un data.frame d’une seule ligne avec trois variables : \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) et \(\text{SD}\). Vous utiliserez la fonction dplyr::summarise().center_unpondered <- state_centroids |>
summarise(
c_x = mean(x),
c_y = mean(y),
c_sd = sqrt(var(x) + var(y)),
)
print(center_unpondered)
## c_x c_y c_sd
## 1 430395 1935957 1344019state_centroids) et celui issu du filtrage des données. Le résultat doit être un data.frame avec quatre variables : l’année, \(\bar{x}_z\), \(\bar{y}_z\) et \(\text{SD}_z\). Vous utiliserez les fonctions group_by() et summarise() du package dplyr.center_pondered <- data_joined |>
group_by(year) |>
summarise(
cw_x = sum(population * x) / sum(population),
cw_y = sum(population * y) / sum(population),
cw_sd = sqrt(sum(population * ((x - mean(cw_x))^2 + (y - mean(cw_y))^2)) / sum(population))
)Au final, vous aurez donc deux jeux de données :
Je vous demande d’écrire les formules vous même pour vous entraîner. Sachez qu’il existe également des packages qui intègrent des fonctions pour ce genre d’analyse :
aspace
sfcentral, pas intégré à sf.sfcentral :
tidyverse (e.g. dplyr)Cartographiez le centre non pondéré des États-Unis avec sa distance standard avec le package ggplot2 (c.f. Section 10.2 pour les graphs avec ggplot2 et Section 11.1 pour la carto, Attention nouveau package).
Vous aurez les couches suivantes :
geom_sf())geom_point())geom_point())ggforce::geom_circle()). Attention nouveau packageVous vous appuierez sur le code ci-dessous. Vous aurez sans-doute à changer le nom des jeux de données et des variables :
map_unpondered <- ggplot() +
# [ Couche des états ]
geom_sf(data = states) + # Le jeu de données spatiales brute
# [ La distance standard ]
ggforce::geom_circle(
data = center_unpondered, # votre jeu de données non-pondéré
aes(
x0 = c_x, # La moyenne des x
y0 = c_y, # La moyenne des y
r = c_sd # la distance standard
),
# Symbologie
fill = "red", alpha = 0.1, inherit.aes = FALSE
) +
# [ Le centroïde des états ]
geom_point(
data = state_centroids, # Le jeu de données contenant les centroïde
aes(
x = x, # Les x
y = y # Les y
),
# Symbologie
color = "grey"
) +
# [ Le centre moyen pondéré ]
geom_point(
data = center_unpondered, # Le jeu de données non-pondéré
aes(
x = c_x, # La moyenne des x
y = c_y # La moyenne des y
),
# Symbologie
color = "black", shape = 21, fill = "red", size = 3
) +
# Titre, labels des axes, sources et réalisation
labs(
title = "Titre",
subtitle = "Sous-titre",
x = "",
y = "",
caption = "Données : .... Réalisation: ..."
) +
# Theme
theme_minimal()
map_unpondered
Cartographiez le centre pondéré de la population des États-Unis depuis 1970 et sa distance standard avec le package ggplot2.
Créez une nouvelle carte sur la base de l’ancienne. Il vous faudra “juste” changer certains jeux de données et nom de variables.
Vous conserverez le centre non-pondéré pour comparer et vous interpréterez la carte.
map_pondered <- ggplot() +
# [ Couche des états ]
geom_sf(data = states) + # Le jeu de données spatiales brute
# [ La distance standard ]
ggforce::geom_circle(
data = center_pondered, # votre jeu de données non-pondéré
aes(
x0 = cw_x, # La moyenne des x
y0 = cw_y, # La moyenne des y
r = cw_sd, # la distance standard
color = year,
),
# Symbologie
fill = NA, alpha = 0.1, inherit.aes = FALSE
) +
# [ Le centroïde des états ]
geom_point(
data = state_centroids, # Le jeu de données contenant les centroïde
aes(
x = x, # Les x
y = y # Les y
),
# Symbologie
color = "grey"
) +
# [ Les centres moyens pondérés ]
geom_point(
data = center_pondered, # Le jeu de données non-pondéré
aes(
x = cw_x, # La moyenne des x
y = cw_y, # La moyenne des y
fill = year
),
# Symbologie
color = "white", shape = 21, size = 3
) +
# [ Le centre moyen pondéré ]
geom_point(
data = center_unpondered, # Le jeu de données non-pondéré
aes(
x = c_x, # La moyenne des x
y = c_y # La moyenne des y
),
# Symbologie
color = "black", shape = 21, fill = "red", size = 3
) +
# Titre, labels des axes, sources et réalisation
labs(
title = "Titre",
subtitle = "Sous-titre",
x = "",
y = "",
caption = "Données : .... Réalisation: ..."
) +
# Theme
theme_minimal()
map_pondered
La carte est peu lisible à cause :
# Conversion en km des distances standards
center_pondered <- mutate(center_pondered, cw_sd_km = cw_sd/1000)
center_unpondered <- mutate(center_unpondered, c_sd_km = c_sd/1000)
center_pondered <-
mutate(center_pondered, year = plyr::round_any(year, 10)) |>
group_by(year) |>
dplyr::summarise(across(everything(), ~mean(.x)))geom_line()pond_sd_line <- ggplot(center_pondered, aes(x = year, y = cw_sd_km, color = year)) +
geom_line() +
geom_point(size = 2) +
geom_hline(
yintercept = center_unpondered$c_sd_km, color = "red"
) +
annotate(
"text",
x = min(as.numeric(center_pondered$year)) + 50,
y = center_unpondered$c_sd_km + 50,
label = "Distance standard non-pondérée",
color = "red"
) +
labs(x = "", y = "Distance Standard pondérée (km)") +
theme_minimal() +
theme(legend.position = "none")
pond_sd_line
pond_map_disc <- ggplot() +
geom_sf(data = states) +
geom_point(
data = center_pondered,
aes(x = cw_x, y = cw_y, fill = year),
color = "white", shape = 21, size = 4
) +
geom_point(
data = center_unpondered,
aes( x = c_x, y = c_y),
color = "white", shape = 21, fill = "red", size = 4
) +
guides(fill = guide_colorbar(barwidth = 15)) +
labs( x = "", y = "", fill = "Années") +
theme_minimal() +
theme(legend.position = "bottom")
pond_map_disc
Ensuite, combinez la carte et le graph nouvellement créé au moyen de package patchwork. Utilisez la fonction wrap_plots() (c.f. Section 10.2.4).
wrap_plots(
list(pond_map_disc, pond_sd_line),
ncol = 1
) +
plot_annotation(
title = "Dynamique moyenne de la population des USA entre 1790 et 2024",
subtitle = "**A)** Centres moyens pondérés par la population. Le <span style='color:red;'>**point rouge**</span> indique le centre moyen non-pondéré.<br>**B)** Distances standards pondérées par la population.",
caption = "**Données :** United States Census Bureau, 2025. **Réalisation :** Antoine Le Doeuff, 2026",
tag_levels = 'A',
theme = theme(
plot.title = element_text(size = 16, face = "bold"),
plot.subtitle = ggtext::element_markdown(size = 12),
plot.caption = ggtext::element_markdown(size = 10),
)
) +
plot_layout(
heights = c(4, 2)
)
Sous R, on peut facilement animer un graph ggplot2 en utilisant le package gganimate. Le rendu est particulièrement parlant pour l’analyse centrographique temporelle.
Créez une carte avec ggplot2 les couches suivantes :
Appuyez-vous sur les cartes précédentes. Ajoutez les lignes suivantes à votre code ggplot2 :
# Convertissez l'année en facteur dans votre tableau des centres pondérés
center_pondered <- mutate(center_pondered, year = as.factor(year))
anim <- ggplot() +
# ... votre code
labs(
title = "Centre pondéré de la population : {closest_state}",
x = "", y = ""
) +
transition_states(year) +
shadow_mark(
past = TRUE,
alpha = 0.5,
colour = "red",
# l'argument exclude_layer vous permet de supprimer des couches de votre
# objet ggplot pour les années passées. Le chiffre indiquent l'ordre
# d'apparition des couches.
# exclude_layer = c(3, 4)
)Puis rendez l’animation :
animate(
anim, # votre object animation
duration = 10,
fps = 20,
width = 800,
height = 500,
renderer = gifski_renderer(
"figures/weighted_center.gif" # le nom de votre anim
)
)La Figure 2.1 donne un exemple de rendu. Vous pouvez modifier votre code pour aboutir à un rendu similaire.
p <- ggplot() +
geom_sf(data = states) +
geom_point(
data = pond_disc,
aes(x = cw_x, y = cw_y),
color = "red", size = 4
) +
geom_text(
data = pond_disc,
aes(x = cw_x, y = cw_y, label = year),
color = "red", vjust = -1, size = 4
) +
ggforce::geom_circle(
data = pond_disc,
aes(x0 = cw_x, y0 = cw_y, r = cw_sd),
fill = "transparent", color = "black", inherit.aes = FALSE,
linewidth = 1
) +
labs(
title = "Centre moyen pondéré de la population des États-Unis",
subtitle = "Le cercle représente la distance standard pondérée. Année : {closest_state}",
x = "", y = "",
caption = "Données : United States Census Bureau, 2025. Réalisation : Antoine Le Doeuff, 2026"
) +
theme_minimal() +
theme(
plot.title = element_text(size = 18, face = "bold"),
plot.subtitle = element_text(size = 14, face = "italic"),
) +
transition_states(year) +
shadow_mark(
past = TRUE,
alpha = 0.3,
colour = "red",
exclude_layer = c(3, 4)
)
# Rendre l'animation
anim <- animate(
p,
duration = 10,
fps = 20,
width = 800,
height = 500,
renderer = gifski_renderer("figures/weighted_center.gif")
)Voilà à quoi peut ressembler votre script complet.
################################################################################
# Script Name: centro_usa.r
# Description: Analyse centrographique de la population des USA entre 1790 et 2024
# Author: Antoine Le Doeuff
# Date created: 2025-10-28
################################################################################
library(readr)
library(sf)
library(dplyr)
library(rnaturalearth)
library(gganimate)
library(ggplot2)
library(patchwork)
# //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# Chargement des données -------------------------------------------------------
# Données de pop
# https://www.kaggle.com/datasets/rolfhendriks/us-population-by-state-comprehensive-data
dt <- read_csv("01_points/data/src/us_population_by_state.csv")
# Polygones des USA
# Convertion en NAD83 / Conus Albers Equal Area Projection
states <- ne_states(country = "United States of America", returnclass = "sf") |>
st_transform(crs = 5070)
# //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# Prétraitements ----------------------------------------------------------------
# Suppression de certains états ................................................
to_remove <- c("Hawaii", "Alaska")
dt <- filter(dt, !state %in% to_remove)
states <- filter(states, !name %in% to_remove)
# Calcul des centroïdes ........................................................
state_centroids <-
st_centroid(states) |>
mutate(
x = st_coordinates(geometry)[,1],
y = st_coordinates(geometry)[,2]
) |>
st_drop_geometry() |>
select(name, x, y)
# Jointure .....................................................................
data_joined <- left_join(dt, state_centroids, by = c("state" = "name"))
# //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# Analyse centrographique ------------------------------------------------------
# Centre non-pondéré ...........................................................
center_unpondered <- state_centroids |>
summarise(
c_x = mean(x),
c_y = mean(y),
c_sd = sqrt(var(x) + var(y)),
)
# Centre pondéré pour chaque année .............................................
center_pondered <- data_joined |>
group_by(year) |>
summarise(
cw_x = sum(population * x) / sum(population),
cw_y = sum(population * y) / sum(population),
cw_sd = sqrt(sum(population * ((x - mean(cw_x))^2 + (y - mean(cw_y))^2)) / sum(population))
)
# //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# Analyse ----------------------------------------------------------------------
# Centre pondéré ...............................................................
map_unpondered <- ggplot() +
geom_sf(data = states) +
ggforce::geom_circle(
data = center_unpondered,
aes(x0 = c_x, y0 = c_y, r = c_sd),
fill = "red", alpha = 0.1, inherit.aes = FALSE
) +
geom_point(
data = state_centroids,
aes( x = x, y = y),
color = "grey"
) +
geom_point(
data = center_unpondered,
aes(x = c_x, y = c_y),
color = "black", shape = 21, fill = "red", size = 3
) +
labs(
title = "Titre",
subtitle = "Sous-titre",
x = "", y = "",
caption = "Données : .... Réalisation: ..."
) +
theme_minimal()
map_unpondered
# Centre non-pondéré ...........................................................
# Conversion en km des distances standards
center_pondered <- mutate(center_pondered, cw_sd_km = cw_sd/1000)
center_unpondered <- mutate(center_unpondered, c_sd_km = c_sd/1000)
# Mise à jour du pas de temps
center_pondered <-
mutate(center_pondered, year = plyr::round_any(year, 10)) |>
group_by(year) |>
dplyr::summarise(across(everything(), ~mean(.x)))
# Graphique des distances standards
pond_sd_line <- ggplot(center_pondered, aes(x = year, y = cw_sd_km, color = year)) +
geom_line() +
geom_point(size = 2) +
geom_hline(
yintercept = center_unpondered$c_sd_km, color = "red"
) +
annotate(
"text",
x = min(as.numeric(center_pondered$year)) + 50,
y = center_unpondered$c_sd_km + 50,
label = "Distance standard non-pondérée",
color = "red"
) +
labs(x = "", y = "Distance Standard pondérée (km)") +
theme_minimal() +
theme(legend.position = "none")
# Cartographie des centres pondérés
pond_map_disc <- ggplot() +
geom_sf(data = states) +
geom_point(
data = center_pondered,
aes(x = cw_x, y = cw_y, fill = year),
color = "white", shape = 21, size = 4
) +
geom_point(
data = center_unpondered,
aes( x = c_x, y = c_y),
color = "white", shape = 21, fill = "red", size = 4
) +
guides(fill = guide_colorbar(barwidth = 15)) +
labs(x = "", y = "", fill = "Années") +
theme_minimal() +
theme(legend.position = "bottom")
# Jointure du graphique et de la carte
wrap_plots(
list(pond_map_disc, pond_sd_line),
ncol = 1
) +
plot_annotation(
title = "Dynamique moyenne de la population des USA entre 1790 et 2024",
subtitle = "**A)** Centres moyens pondérés par la population. Le <span style='color:red;'>**point rouge**</span> indique le centre moyen non-pondéré.<br>**B)** Distances standards pondérées par la population.",
caption = "**Données :** United States Census Bureau, 2025. **Réalisation :** Antoine Le Doeuff, 2026",
tag_levels = 'A',
theme = theme(
plot.title = element_text(size = 16, face = "bold"),
plot.subtitle = ggtext::element_markdown(size = 12),
plot.caption = ggtext::element_markdown(size = 10),
)
) +
plot_layout(
heights = c(4, 2)
)
# //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
# Animation --------------------------------------------------------------------
p <- ggplot() +
geom_sf(data = states) +
geom_point(
data = center_pondered,
aes(x = cw_x, y = cw_y),
color = "red", size = 4
) +
geom_text(
data = center_pondered,
aes(x = cw_x, y = cw_y, label = year),
color = "red", vjust = -1, size = 4
) +
ggforce::geom_circle(
data = center_pondered,
aes(x0 = cw_x, y0 = cw_y, r = cw_sd),
fill = "transparent", color = "black", inherit.aes = FALSE,
linewidth = 1
) +
labs(
title = "Centre moyen pondéré de la population des États-Unis",
subtitle = "Le cercle représente la distance standard pondérée. Année : {closest_state}",
x = "", y = "",
caption = "Données : United States Census Bureau, 2025. Réalisation : Antoine Le Doeuff, 2026"
) +
theme_minimal() +
theme(
plot.title = element_text(size = 18, face = "bold"),
plot.subtitle = element_text(size = 14, face = "italic"),
) +
transition_states(year) +
shadow_mark(
past = TRUE,
alpha = 0.3,
colour = "red",
exclude_layer = c(3, 4)
)
# Rendre l'animation
anim <- animate(
p,
duration = 10,
fps = 20,
width = 800,
height = 500,
renderer = gifski_renderer("figures/weighted_center.gif")
)